Tres limitaciones esenciales de la ciencia moderna (Parte II)

Limitación en la lógica formal

Algunos de los más grandes pensadores, pretenden determinar la naturaleza del razonamiento matemático con el fin de mejorar su comprensión de la noción de "prueba" en matemáticas. Por ello, trataron de codificar el proceso de pensamiento de la razón humana, tal como es aplicada en las matemáticas.

Se conjeturó que la lógica y las matemáticas están relacionados entre sí y que las matemáticas pueden ser una rama de la lógica, o viceversa. Ellos pensaban que el tipo de método lógico deductivo de la geometría podría ser empleado en las matemáticas, donde todos los enunciados verdaderos de un sistema se pueden derivar de la base de un pequeño conjunto de axiomas.

"El desarrollo axiomático de la geometría produjo una poderosa impresión en los pensadores a través del tiempo, a causa de cómo un número relativamente pequeño de axiomas puede llevar todo el peso de las inagotables y numerosas proposiciones que se derivan de ellos ", el Dr. Ernest Ángel, filósofo y Dr. James R. Newman, matemático, escribieron en su libro Gödel's Proof: "La forma axiomática de la geometría les pareció a muchas generaciones de destacados pensadores como el mejor modelo del conocimiento científico".

La forma axiomática de la geometría apareció a muchas generaciones de pensadores excepcionales como el mejor modelo del conocimiento científico.

Persistentes contradicciones en la lógica

Sin embargo, se sabía que existían en la lógica las inherentes paradojas. Y una variedad de paradojas se descubrieron también en la teoría de conjuntos, tales como la paradoja de Russell. Estas paradojas tienen dos cosas en común la autorreferencia y la contradicción.

Una simple y bien conocida paradoja es la del mentiroso, como "yo miento siempre”. De tal declaración se deduce que si estoy mintiendo, estoy diciendo la verdad, pero también no es la verdad, porque les estoy mintiendo.

La declaración no puede ser ni verdadera ni falsa. Simplemente no tiene sentido. Desde el descubrimiento de las paradojas en la teoría de conjuntos, los matemáticos sospechan que puede haber imperfecciones graves en otras ramas de las matemáticas.

En su libro Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, el Dr. Douglas Hofstadter, profesor de ciencias cognitivas de la Universidad de Indiana en Bloominton, escribió: "Estos tipos de problemas en los fundamentos de las matemáticas fueron responsables del gran interés en la codificación de métodos de razonamiento humanos que estuvo presente en la primera parte del Siglo XX.

Matemáticos y filósofos habían comenzado a tener serias dudas acerca de si las más concretas de las teorías, tales como el estudio de los números enteros (teoría de números), fueron construidas sobre sólidos fundamentos. Si las paradojas podrían surgir tan fácilmente en la teoría de conjuntos, teoría cuyo concepto básico, el de un conjunto, es sin duda muy atractiva a primera vista, entonces ¿no podrían también existir en otras ramas de las matemáticas? ".

Los lógicos y matemáticos trataron de evitar estos problemas. Uno de los más famosos esfuerzos sobre esto se llevó a cabo por Alfred North Whitehead y Bertrand Russell en su monumental obra de Principia Mathematica .Ellos se dieron cuenta de que todas las paradojas implican la autorreferencia y la contradicción, e idearon un sistema jerárquico a fin de inhabilitar a ambas. Principia Mathematica fundamentalmente tenía dos objetivos: proporcionar un completo método formal para derivar toda la matemática de un conjunto finito de axiomas, y de ser coherentes, y sin paradojas.

En ese momento, no estaba claro si, Russell y Whitehead realmente habían alcanzado sus objetivos. Mucho está en juego. El fundamento mismo de la lógica y las matemáticas parecían estar en tierra inestable. Y hubo un gran esfuerzo, participando los principales matemáticos del mundo en verificar el trabajo de Russell y Whitehead.

Teorema de la incompletud de Gödel

En 1931, la esperanza en ese gran esfuerzo fue destruido por el lógico y matemático, austriaco Dr. Kurt Gödel con la publicación de su ensayo: Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados”.

Gödel demostró una limitación inherente, no solo en los Principia Mathematica, sino también en todo sistema axiomático formal concebible que tratan de describir el poder de la aritmética. La aritmética, la teoría de números enteros, como sumas y multiplicaciones, es la más básica y más antigua parte de la matemática, que como sabemos tiene una gran importancia práctica.

Así, Gödel demostró que un sistema formal tan axiomático que intenta describir la aritmética no puede ser completa y coherente al mismo tiempo. Esta prueba se conoce como teorema de incompletud de Gödel.

Solo había dos posibilidades en un sistema formal:

Primero: Si el sistema formal es completo, entonces no puede ser consistente. Y el sistema contendrá una contradicción análoga a la paradoja del mentiroso.

Segundo: Si el sistema formal es consistente, entonces no puede ser completa. Y por lo tanto, dentro del sistema no puede probarse la verdad completa del sistema.

Para los sistemas formales muy sencillos, la limitación no existe. Irónicamente, cuando un sistema formal se hace más poderoso, al menos lo suficientemente potente como el modelo aritmético, la limitación del teorema de incompletud de Gödel se vuelve inevitable.

Algunos científicos dicen que la prueba de Gödel tiene poca importancia en la práctica. Sin embargo, el Dr. Roger Penrose, físico matemático Inglés, señaló que otro teorema, como el de Goodstein, es en realidad un teorema de Gödel que demuestra la limitación de la inducción matemática para demostrar ciertas verdades matemáticas. La inducción matemática es un método puramente deductivo que puede ser muy útil en la prueba de una serie infinita de los casos con pasos finitos de deducción.

Limitación inherente de los métodos deductivos formales

Hubo una motivación más profunda detrás de los esfuerzos Gödel, más allá de las cuestiones de los Principia Mathematica y de otros métodos formales más prácticos. Al igual que otros grandes matemáticos y lógicos de su tiempo, Gödel quería tener una mejor comprensión de las preguntas básicas acerca de las matemáticas y la lógica: ¿Cuál es la verdad en matemática? y ¿qué significa probarlo? Estas preguntas todavía permanecen en gran parte sin resolver. Parte de la respuesta vino con el descubrimiento de que algunas enunciados en los sistemas matemáticos no se pueden probar por métodos deductivos formales. Una importante revelación de progreso de Gödel indica que la noción de prueba es más débil que la noción de verdad.

La prueba de Gödel parece demostrar que la mente humana puede comprender ciertas verdades axiomáticas que los sistemas formales no pueden demostrar. De esto, algunos científicos y filósofos sostienen que la mente humana nunca puede ser totalmente mecanizada.

Aunque el teorema de incompletitud de Gödel no es bien conocido por el público, es considerado por los científicos y filósofos como uno de los mayores descubrimientos en los tiempos modernos. La enorme importancia del trabajo de Gödel fue reconocido muchos años después de su publicación, como se menciona en la Gödel's Proof: "Gödel fue finalmente reconocido por sus pares y fue reconocido con el primer Premio Albert Einstein en 1951 por sus logros en las ciencias naturales –el más alto honor de su tipo en los Estados Unidos. El comité del premio, incluían a Albert Einstein y J. Robert Oppenheimer, que describiendo su obra lo consideraban como "una de las mayores contribuciones a las ciencias en los últimos tiempos".